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U n suite géométrique? Autrement dit, une suite est géométrique si et seulement si chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un nombre réel q, toujours le même. Pour montrer qu'une suite est géométrique, il faut donc montrer qu'il existe un nombre réel non nul q indépendant de n tel que, pour tout Autrement dit, il faut montrer que le quotient est constant: Pour montrer qu'une suite n'est pas géométrique, il suffit de montrer que, sur les premiers termes par exemple, le quotient n'est pas constant. Suite géométrique Pour montrer qu'une suite est géométrique, il ne suffit pas de vérifier que, le quotient est constant sur les premiers termes de la suite. Il faut le montrer pout tout entier n. Exemple On a la propriété suivante: Propriété: une suite géométrique de raison q Alors, Pour tout Pour tout couple (n, p) d'entiers naturels, Signe du terme général d'une suite géométrique une suite géométrique de raison q, où q ≠ 0. On a u n = u 0 x qn. • Si q > 0, alors un, est du signe de u 0.
Alors, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n=5\times (-3)^n\). En particulier, \(u_7=5\times (-3)^7=-10935\) Attention à la formulation lorsque des pourcentages sont en jeu: ajouter 10\%, c'est faire une multiplication par 1. 1. Ce n'est pas une addition! Exemple: Un particulier place 3000 euros sur un livret au taux d'intérêts composés annuel de 1%. Cela signifie que chaque année, le capital sur le livret augmente de 1%. Pour \(n\in\mathbb{N}\), on note \(C_n\) le capital sur le livret après \(n\) années, exprimé en euros. \(C_0=3000\) \(C_1=3000 \times \left(1+\dfrac{1}{100}\right) = 3000 \times 1. 01 = 3030\) \(C_2=3030 \times \left(1+\dfrac{1}{100}\right) = 3030 \times 1. 01 = 3060. 3\) Pour tout entier naturel \(n\), \(C_{n+1}=1. 1C_n\). La suite \((C_n)\) est géométrique, de raison 1. 1. Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(C_n=3000 \times 1. 01^n\) Soit \((u_n)\) une suite géométrique de raison \(q\). On suppose \(u_0\neq 0\). Si \(q<0\), alors la suite \((u_n)\) n'est pas monotone: les termes alternent entre les positifs et les négatifs.
• Si q Les termes de la suite sont, dans ce cas, alternativement positifs et négatifs: u n est du signe de u 0 si n est pair et un est de signe opposé à u 0 si n est impair. Sens de variation d'une suite géométrique Nous avons vu que si q n'est donc pas monotone. Supposons donc que q > 0. Comme on a: &bullet Si q > 1 et un > 0, c'est à dire u0 > 0, alors la suite est strictement croissante. &bullet Si q > 1 et un est strictement décroissante. &bullet Si 0 0, c'est à dire u0 > 0, alors la suite &bullet Si 0 Remarque: Ces résultats généraux sur le sens de variation d'une suite géométrique ne sont pas à apprendre mais il faut savoir les retrouver dans l'étude de cas particuliers. Somme des termes d'une suite géométrique Vous avez choisi le créneau suivant: Nous sommes désolés, mais la plage horaire choisie n'est plus disponible. Nous vous invitons à choisir un autre créneau.
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_{n+1}=-4u_n$ et $u_n=5\times (-4)^n$. Pour chacun des points de la propriété la réciproque est vraie. – Si pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=q\times u_n$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $q$. – Si pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=u_0 \times q^n$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $q$. Si le premier terme de la suite géométrique n'est pas $u_0$ mais $u_1$ on a, pour tout entier naturel $n$ non nul $u_n=u_1\times q^{n-1}$. La propriété suivante permet de généraliser aux premiers termes $u_{n_0}$. Propriété 2: On considère une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $q$. Pour tout entier naturel $n$ et $p$ on a $u_p=u_n\times q^{p-n}$. Exemple: On considère la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $2$ telle que $u_3=4$. Alors, par exemple: $\begin{align*} u_{10}&=u_3\times 2^{10-3}\\ &=4\times 2^7 \\ &=512\end{align*}$ Remarque: Cette propriété permet de déterminer, entre autre, la raison d'une suite géométrique dont on connaît deux termes.
Ainsi, \[u_0+u_1+u_2+\ldots+u_n=u_0+u_0\, q+u_0\, q^2+\ldots + u_0\, q^n=u_0(1+q+q^2+\ldots+q^n)\] Et d'après la propriété précédent, on obtient \[u_0+u_1+u_2+\ldots+u_n=u_0\, \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\] Exemple: Notons \(S=5+10+20+\ldots+40960\), où chaque terme de la somme vaut le double du terme précédent. \[S=5\times (1 + 2 + 4 + \ldots + 8192) = 5 \times (1+2+2^2+\ldots + 2^13)\] \[S=5 \times \dfrac{1-2^{14}}{1-2}=81915\] Télécharger la version PDF du cours Télécharger la fiche d'exercices liée à ce cours Accueil » Cours et exercices » Première Générale » Suites arithmétiques et géométriques
Calculer la somme obtenue au bout de 10 ans. 3. Sens de variation d'une suite arithmétique D'après la définition du sens de variation d'une suite, celui d'une suite arithmétique va dépendre du signe de sa raison r: Si r > 0 alors la suite arithmétique est croissante, Si r < 0 alors la suite arithmétique est décroissante, Si r = 0 alors la suite arithmétique est constante. Si une suite arithmétique est de raison 4 alors elle est croissante: U 0 = 1; U 1 = 5; U 2 = 9; U 3 = 13… Si une suite arithmétique est de raison -5 alors elle est décroissante: U 0 = 4; U 1 = − 1; U 2 = − 6; U 3 = − 11… 4. Représentation graphique d'une suite arithmétique Soit ( U n)une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme U 0 = 1. U 1 = 4; U 2 = 7; U 3 = 10; U 4 = 13… Propriété: Tous les points d'une suite arithmétique sont alignés: on parle d'une croissance linéaire. Vous avez déjà mis une note à ce cours. Découvrez les autres cours offerts par Maxicours! Découvrez Maxicours Comment as-tu trouvé ce cours?