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Un produit scalaire canonique est un produit scalaire qui se présente de manière naturelle d'après la manière dont l' espace vectoriel est présenté. On parle également de produit scalaire naturel ou usuel. Sommaire 1 Dans '"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"' 2 Dans '"`UNIQ--postMath-00000007-QINU`"' 3 Dans des espaces de fonctions 4 Dans '"`UNIQ--postMath-0000000B-QINU`"' 5 Articles connexes Dans [ modifier | modifier le code] On appelle produit scalaire canonique de l'application qui, aux vecteurs et de, associe la quantité:. Sur, on considère le produit scalaire hermitien canonique donné par la formule:. Dans des espaces de fonctions [ modifier | modifier le code] Dans certains espaces de fonctions (fonctions continues sur un segment ou fonctions de carré sommable, par exemple), le produit scalaire canonique est donné par la formule:. Dans l'espace des matrices carrées de dimension à coefficients réels, le produit scalaire usuel est: où désigne la trace. Articles connexes [ modifier | modifier le code] Base canonique Base orthonormée Portail de l'algèbre
Enoncé Soit $a$ et $b$ des réels et $\varphi:\mathbb R^2\to \mathbb R$ définie par $$\varphi\big((x_1, x_2), (y_1, y_2)\big)=x_1y_1+4x_1y_2+bx_2y_1+ax_2y_2. $$ Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les réels $a$ et $b$ pour que $\varphi$ définisse un produit scalaire sur $\mathbb R^2$. Enoncé Soient $E$ un espace préhilbertien réel, $a\in E$ un vecteur unitaire et $k\in\mathbb R$. On définit $\phi:E\times E\to\mathbb R$ par $$\phi(x, y)=\langle x, y\rangle+k\langle x, a\rangle\langle y, a\rangle. $$ Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $k$ pour que $\phi$ soit un produit scalaire. Enoncé Soient $a, b, c, d\in\mathbb R$. Pour $u=(x, y)$ et $v=(x', y')$, on pose $$\phi(u, v)=axx'+bxy'+cx'y+dyy'. $$ Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur $a, b, c, d$ pour que $\phi$ définisse un produit scalaire sur $\mathbb R^2$. Enoncé Soit $E=\mathcal C([0, 1])$ l'ensemble des fonctions continues de $[0, 1]$ dans $\mathbb R$, et soit $a=(a_n)$ une suite de $[0, 1]$.
A posteriori, on peut maintenant définir dans un espace vectoriel euclidien les notions d'orthogonalité,... Ex: Soit $E$ l'ensemble des polynômes, $w$ une fonction continue strictement positive sur l'intervalle $[a, b]$. On définit un produit scalaire sur E en posant $f(P, Q)=\int_a^b P(x)Q(x)w(x)dx. $$ Cet exemple donne naissance à la riche théorie des polynômes orthogonaux. Cas complexe Pour des raisons techniques, il faut légèrement changer la définition d'un produit scalaire dans le cas d'un espace vectoriel sur $\mathbb C$. Définition: Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb C$, et soit $f:E\times;E \to\mathbb C$ une fonction. On dit que $f$ pour tous $u, v$ de $E$, $f(u, v)=\overline{f(v, u)}$. pour tout $\lambda \in\mathbb C$, et tous $u, v$ de $E$, $f(\lambda u, v)=\lambda f(u, v)$. Définition: Un espace vectoriel sur $\mathbb C$ muni d'un produit scalaire est dit hermitien s'il est de dimension finie. préhilbertien (complexe) s'il est de dimension infinie. Le concept de produit linéaire de vecteurs est né de la physique, sous la plume de Grassman et Gibbs.
Enoncé Il est bien connu que si $E$ est un espace préhilbertien muni de la norme $\|. \|$, alors l'identité de la médiane (ou du parallélogramme) est vérifiée, à savoir: pour tous $x, y$ de $E$, on a: $$\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2. $$ L'objectif de cet exercice est de montrer une sorte de réciproque à cette propriété, à savoir le résultat suivant: si $E$ est un espace vectoriel normé réel dont la norme vérifie l'identité de la médiane, alors $E$ est nécessairement un espace préhilbertien, c'est-à-dire qu'il existe un produit scalaire $(.,. )$ sur $E$ tel que pour tout $x$ de $E$, on a $(x, x)=\|x\|^2$. Il s'agit donc de construire un produit scalaire, et compte tenu des formules de polarisation, on pose: $$(x, y)=\frac{1}{4}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right). $$ Il reste à vérifier que l'on a bien défini ainsi un produit scalaire. Montrer que pour tout $x, y$ de $E$, on a $(x, y)=(y, x)$ et $(x, x)=\|x\|^2$. Montrer que pour $x_1, \ x_2, \ y\in E$, on a $(x_1+x_2, y)-(x_1, y)-(x_2, y)=0$ (on utilisera l'identité de la médiane avec les paires $(x_1+y, x_2+y)$ et $(x_1-y, x_2-y)$).
Démontrer que $\langle u, v\rangle\in]-1, 1[$. Démontrer que $D_1=D_2^{\perp}$. Soit $x=\alpha u+\beta v$ un vecteur de $E$. Calculer $d(x, D)^2$ et $d(x, D')^2$ en fonction de $\alpha, \beta, u$ et $v$. Démontrer que $d(x, D)=d(x, D')\iff x\in D_1\cup D_2$. On suppose que $x$ est non nul. Démontrer que $x\in D_1$ si et seulement si $\cos\big(\widehat{(u, x)}\big)=\cos\big(\widehat{(v, x)}\big). $ En déduire le résultat annoncé au début de l'exercice.