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Autre exemple similaire: nombre de mots de 3 lettres On a 26 choix possibles pour la première lettre, et autant pour les deuxième et troisième lettres. Soit au total, 26 × 26 × 26 = 17 576 mots différents de 3 lettres. 2. Deuxième exemple: Principe de la distribution de rôle Aux dernières élections municipales d'un village, une liste de 6 personnes a été élue. Parmi ces personnes, on doit désigner le bureau exécutif composé du maire, de l'adjoint au maire et du secrétaire de mairie. Combien de bureaux exécutifs différents peut-on créer? Arbre de choix maths saint. Pour visualiser toutes les possibilités, on utilisera l'arbre suivant où A, B, C, D, E, F représentent les 6 personnes. Remarque Dans cet exemple, l'écriture exhaustive des branches de l'arbre serait trop longue à effectuer. On reconstitue donc « mentalement » l'arbre, mais on peut aussi en esquisser le début sans tracer toutes les branches. Au 1er niveau, il y a 6 choix de maires différents. Une fois le maire choisi, au deuxième niveau il reste 5 choix pour le maire adjoint.
Une fois le maire adjoint choisi, au troisième niveau il reste 4 choix pour le secrétaire de mairie. Au total il y a 6 × 5 × 4 = 120 possibilités de bureaux exécutifs 120 correspond aux nombres de branches de l'arbre. Autres exemples similaires: Classement d'une course Calculer le nombre de podiums de 3 concurrents sur 10 participants. Sur le même principe, il y a 10 possibilités pour la première place, puis 9 pour la seconde, 8 pour la troisième, donc au total 10 × 9 × 8 = 720 podiums différents. Nombre de mots différents de 3 Il y a 26 possibilités pour la première lettre, puis 25 possibilités pour la deuxième lettre, puis 24 possibilités pour la troisième lettre soit 26 × 25 × 24 = 15 600 mots différents. 3. Résoudre des problèmes relevant d'un arbre à choix par Edumoov - jenseigne.fr. Troisième exemple: principe de la distribution totale des rôles Ce principe est quasiment identique au précédent sauf que tous les rôles sont distribués. Dans l'exemple de la mairie, en dehors des 3 rôles du bureau exécutifs, il faut nommer un conseiller municipal pour l'économie, un pour les loisirs et un pour le social.
Plus généralement, on obtient la règle n° 1, appelée: Loi des nœuds: La somme des probabilités inscrites sur les branches partant d'un même nœud est égale à 1. Règle n° 2 ( admise) La probabilité d'un parcours est égale au produit des probabilités inscrites sur les branches de ce parcours. Exemple: 3/ Loi des probabilités totales: partition 3/ Loi des probabilités totales: énoncé Loi des probabilités totales: Si les événements A1; A2;... ; An forment une partition de l'univers alors, quel que soit l'événement B: Illustration pour une partition de l'univers en 3 événements: En effet, A1; A2;... Probabilités conditionnelles - Cours maths Terminale - Tout savoir sur les probabilités conditionnelles. ; An formant une partition de l'univers forment une partition de B, d'où la formule. 3/ Loi des probabilités totales: application aux arbres pondérés Dans le cas d'un arbre pondéré, nous pouvons donc énoncer la règle n° 3: La probabilité d'un événement B est la somme des probabilités des parcours qui mènent à B. Exemple et rédaction type: A et forment une partition de l'univers, donc d'après la loi des probabilités totales: 4/ Probabilités conditionnelles: exemple Soit une urne contenant 3 boules rouges et 2 boules vertes.
La première étape permet de définir un univers Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} sur lequel on applique une équiprobabilité (on estime le dé parfaitement équilibré). On considère alors les deux événements complémentaires U 1 = « le lancer conduit à tirer dans l'urne 1 » U 2 = « le lancer conduit à tirer dans l'urne 2 » On a donc U 1 = { 3; 6} et p ( U 1) = 1/3 puis p ( U 2) = 2/3. Pour étudier la seconde étape, il faut étudier ce qui se passe quand on tire dans l'urne 1 ou l'urne 2. Le tirage dans l'urne 1 permet de définir un univers Ω 1 = { N; B; R} sur lequel on applique la probabilité suivante p ( N) = 3/10 p ( B) = 4/10 p ( R) = 3/10. Résoudre des problèmes relevant d'un arbre à choix | CM1 | Fiche de préparation (séquence) | nombres et calculs | Edumoov. Il s'agit en réalité du transfert à Ω 1 (univers des couleurs possibles d'une boule tirée au hasard dans l'urne 1) d'une équiprobabilité définie sur Ω 1 ' = {N 1, N 2, N 3, B 1, B 2, B 3, B 4, R 1, R 2, R 3} (univers des boules contenues dans l'urne 1 elles-mêmes, considérées ici comme les résultats possibles et équiprobables du tirage dans l'urne 1). De même, le tirage dans l'urne 2 permet de définir un univers Ω 2 = { N, B} de probabilités 3/5 et 2/5.
L'expérience se résume alors dans l'arbre suivant: La lecture des probabilités se fait alors aisément: Probabilité de tirer dans l'urne 1 et d'obtenir une noire: Probabilité de tirer dans l'urne 2 et d'obtenir une noire: La probabilité de tirer une boule noire est alors: Exercice résolu [ modifier | modifier le code] Gérard peut aller au travail par deux chemins A ou B. La probabilité qu'il emprunte le chemin A est de 0, 4. S'il emprunte le chemin A, la probabilité qu'il soit en retard est de 0, 2. S'il emprunte le chemin B, la probabilité qu'il soit en retard est de 0, 6. Arbre de choix maths 6. Soit R l'événement "Gérard est en retard" et R c le complémentaire de R. On en déduit les probabilités "La probabilité qu'il emprunte le chemin A est de 0, 4. ": P ( A) = 0, 4. Comme il n'y a que deux chemins possibles alors P ( B) = 1 – P ( A) = 0, 6. "S'il emprunte le chemin A, la probabilité qu'il soit en retard est de 0, 2. ": P A ( R) = 0, 2. La probabilité qu'il ne soit pas en retard sachant qu'il a pris le chemin A est donc le complémentaire P A ( R c) = 1 – P A ( R) = 0, 8.
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